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生产者理论
本章讨论生产者理论，消费和生产差不多是经济学里面最重要的两个基础内容了，学完了这个就可以逐步进入一般均衡理论了！注意，本章的命题的数学细节其实和消费者理论那里是一样的，所以这里觉得很难可能是因为消费者理论那里没有学好，建议再看看那部分。这一章看似命题和结论很多，但是用到的数学应该只有KKT和对偶定理。
生产集
考虑有L种商品的经济系统，y\in \mathbb{R}^n表示一个生产向量（production vector），也被称为投入产出向量。注意： y=(y_1,...,y_L)，如果分量为正，则表示产出，如果为负，则表示投入。例如y=(-1,-2,3)，表示投入了1单位产品A，1单位产品2，产出3单位产品C。
所有可行的生产向量组成了生产集Y，y\in Y表示生产可行，反之表示不可行。可以用转换函数F(\cdot)来方便地刻画生产集，F(\cdot)具有如下性质：Y=\{y|F(y)\leq 0\}，Y的边界点\{y|F(y)= 0\}组成的集合称为转换边界。 如果某个\bar{y}满足F(\bar{y})=0，那么下式
MRT_{lk}(\bar{y})=\frac{\partial F(\bar{y})/\partial x_l}{\partial F(\bar{y})/\partial x_k} \\
称为商品l和商品k在\bar{y}处的边际转换率(Marginal rate of transformation)，如果只有一种商品，那么称其为边际技术替代率(marginal rate of technical substitution)。
生产集的性质
为了便于分析，经常假设生产集满足一些合意的性质，然后根据模型需要选取特定性质。以下条件并不需要全部成立，往往只需要满足其中一些即可。
- Y非空，不然就没有研究价值了，因为生产集里面什么东西都没有就没有研究的意义了。
- 没有免费的午餐：Y\cap \mathbb{R}_+^L=\emptyset。也就是说想产出，必须要有投入品。
- 允许不生产：0\in Y，它的意思是没有沉没成本，但是某些时候即使不生产，也会有一定的沉没成本——比如前期的厂房。
- 自由处置：如果y\in Y，且y'\leq y，那么y'\in Y。它的意思是企业可以以零成本处理废弃物。
- 生产不可逆：如果y\in Y且y\neq 0，那么-y\notin Y，它的意思是如果企业用投入品产出了产成品，那么无法还原回去。也就是说，用食材做了一道菜，没办法根据菜进行还原
- 规模报酬非增：如果y\in Y，那么\forall a\in [0,1],ay\in Y。
- 规模报酬非减：如果y\in Y，那么\forall a\geq 1,ay\in Y。
- 规模报酬不变：如果y\in Y，那么\forall a\geq 0,ay\in Y。 这里后三个性质还不是很理解，尤其是之前中级微观经济学里面接触到的都是针对生产函数的，这里对集合的还不是很理解，不过下面的例子或许可以提供一些启示：
习题5.B.2：假设产出物只有一种，与该产品生产技术相伴的生产函数为f(\cdot)，令Y为该生产技术的生产集，那么Y是规模报酬不变的，当且仅当f(\cdot)是一次齐次的，即\forall a>0, f(\alpha z)=\alpha f(z) 。（这是我们中级微观经济学中学的规模报酬不变的形式）
解答：根据规模报酬不变和生产函数一次齐次的定义证明即可，但对于规模报酬递增和递减，似乎没有类似的结论。
- 可加性：如果y\in Y，y'\in Y，那么y+y'\in Y，显然，这意味着对于整数k而言，ky\in Y。含义是如果生产满足可加性，那么可以使用两个工厂分别生产y和y'从而得到y+y'。
- 凸性：即要求生产集Y是凸集。
生产集是凸集意味着两件事情：1、规模报酬非增；2、“失衡”的投入组合的生产能力不会大于平衡的投入组合的生产能力。
习题5.B.3：证明对于单一产品的生产技术来说，Y是凸的当且仅当生产函数f(z)是凹的。
证明:根据定义证明即可。
- Y是闭集，即对极限运算封闭，这主要是为了在技术上容易处理。
- Y是一个凸锥，这是凸性和规模报酬不变性质的结合（那其实我们只要求上面两个性质同时成立即可，此处只是为了便利）。定义：\forall y,y'\in Y;\alpha,\beta\geq 0，都有\alpha y+ \beta y'\in Y
下列命题提供了一个洞见：
命题5.B.1: 生产集是一个凸锥当且仅当其是可加的和规模报酬非增的
这为生产集的凸性假设提供了合理支撑。
利润最大化与成本最小化
利润最大化
这就类似于效用最大化与支出最小化，求解方法也是非常相似的。
Max \ \ p\cdot y \\s.t.\ \ y\in Y \\
此时就体现出转换函数的妙处了，因为可以转化为：
Max \ \ p\cdot y \\s.t.\ \ F(y)\leq 0 \\
从而使用KKT条件求解即可~ 当然KKT条件往往是必要条件，因此会存在不少陷阱，比如这个问题可能并不存在最大值（这些都是需要注意的细节）。比如如果Y不是紧集，那么最大值没办法保证。书上有一个简单的例子可以看一下。下面的习题也可以提供一些借鉴：
习题5.C.1: 证明：一般来说，如果生产集是规模报酬非减的，那么要么\pi(p)\leq 0，要么\pi(p)=+\infty。
证明：如果可以找到利润为正的一个投入产出组合，那么根据规模报酬非减，可以将其进行无限放大；如果找不到，那么利润小于大于0。
当然，仅使用必要条件也可以给我们很多启发，比如如果F(y)可微，那么易得在最优解y^*处：
p=\lambda \nabla F(y^*) \\
单一产品时，转化为：
\max_{z\geq 0}\ \ pf(z)-w\cdot z \\
最优解处，必要条件为：
p \nabla f(z^*)\leq w 和[p \nabla f(z^*) - w]\cdot z=0
容易得到两个事实，内点最优解处：1、投入物的边际产品等于其实际价格\frac{f(z^*)}{\partial z_l}=w_l/p；2、任意两种投入品边际技术替代率等于其价格之比MRTS_{lk}=w_l/w_k。这其实意味着，在最优解处，每分钱投入到任何一个产品上的产出应该是一样的，不然就会发生投入的转移。
利润函数与供给对应的性质
有以下命题成立：
命题5.C.1
- \pi(.)是一次齐次的
- \pi(.)是凸的 (经济意义是什么呢？)
- 如果Y是凸的，那么Y=\{y\in \mathbb{R}^L: p\cdot y\leq \pi(y)\ \text{对于所有$p$成立}\}
- y(p) 是零次齐次的
- 如果Y是凸的，则对于任何p,y(p)是一个凸集。如果Y是严格凸的，那么y(p)是单值的(这里是为什么呢？)
- 霍特林引理，如果y(\bar{p})是单点集，那么\pi(\cdot) 在\bar{p}处可微且\nabla \pi(\bar{p})=y(\bar{p})
- 如果y(p)在\bar{p}处可微，那么Dy(\bar{p})=D^2\pi(\bar{p})是一个对称的、正半定的矩阵，且Dy(\bar{p})\bar{p}=0。正半定体现了供给法则，即某种产品价格上升，厂商愿意提供的更多，此处不存在禀赋效应，只有替代效应。
成本最小化
为了便于理解，考虑单一产出品的生产技术。设z为投入品，f(z)为生产函数，q为产出量。类似于支出最小化问题，我们求解以下问题：
\min_{z\geq 0} \ \ w\cdot z \\s.t.\ \ f(z)\geq q \\
一阶条件：
w\geq \nabla f(z^*)\ \text{和}\ [w-\nabla f(z^*)]\cdot z^*=0 \\
易得内点最优解处，有：MRTS_{lk}=w_l/w_k.
下列命题总结了成本函数和条件要素需求对应的性质：
命题5.C.2: 假设c(w,q)是与单一产品生产技术Y的生产函数f(\cdot)对应的成本函数，z(w,q)是相应的条件要素需求对应。假设Y是闭的且满足自由处置性质。那么：
- c(\cdot)关于w一次齐次，关于q弱增。
- c(\cdot)是w的凹函数。
- 如果集合\{z\geq 0:f(z)\geq q\}关于每个q都是凸的，那么 Y=\{(-z,q):w\cdot z\geq c(w,q)\text{对于所有$w>>0$成立}\} (这是为什么呢？)
- z(\cdot)关于w是零次齐次的。
- 如果集合\{z\geq 0:f(z)\geq q\}是凸的，那么z(w,q)是个凸集。而且，如果\{z\geq 0:f(z)\geq q\}是一个严格凸集，那么z(w,q)是单值的。（和前面一样，严格凸这里没有弄清楚目前）
- 谢泼德引理：如果z(\bar{w},q)是单点集，那么c(\cdot)关于\bar{w}可微，并且z(\bar{w},q)=\nabla_w c(\bar{w},q)
- 如果z()在点\bar{w}处可微，那么D_w z(\bar{w},q)=D_w^2 c(\bar{w},q)是一个对称的半负定矩阵，且D_w z(\bar{w},q) \bar{w}=0.
- 如果f(\cdot)是一次齐次的，那么c(\cdot)和z(\cdot)关于q都是一次齐次的。
- 如果f(\cdot)是凹的，那么c(\cdot)是q的凸函数（边际成本关于q弱增）
有了成本函数，可将之前的利润最大化产量决策问题，重新表述为：
\max_{q\geq 0}\ \ pq-c(w,q) \\
易得最优解处的一阶条件为：
p-\frac{\partial c(w,q^*)}{\partial q}\leq 0 \\
等式当q^*>0时成立。可知，如果最优解是内点解，那么价格等于边际成本。如果c(w,q)关于q是凸的，那么一阶条件既是必要条件，又是充分条件。
总供给
解决了单个企业的供给问题之后，来讨论总供给。
总供给对应是单个企业供给的加总：
y(p)=\sum_{j=1}^J y_j(p)=\{y\in \mathbb{R}^L :y=\sum_j y_j \ \text{对于某个$y_j\in y_j(p)$成立,}\ j=1,...,J\}\\
根据单个企业的供给对应的性质，可知Dy(p)是对称的、正半定的。这进一步体现了供给法则：某种产品的价格上升，其总供给会增加。
给定单个公司的生产集Y_1,...,Y_J，可以定义整个经济的总生产集
Y=\sum Y_j=\{y\in \mathbb{R}^L :y=\sum_j y_j \ \text{对于某个$y_j\in Y_j$成立,}\ j=1,...,J\}。
定义 \pi^*(p) 和 y^*(p) 为总生产集的利润函数和供给对应。
接下来讨论一个很有趣的问题，如果企业都是价格接受者，那么把经济资源交给一个厂商，和分给多个厂商来生产是否有区别呢？下列命题给予我们一些洞见：
命题5.E.1: 对于所有p>>0，我们有：
- \pi^*(p)=\sum_j \pi_j(p) \\
- y^*(p)=\sum_j y_j(p)(=\{\sum_j y_j: y_i\in y_j(p)\ \text{对于每个 $j$ 成立}\}) \\
也就是说，首先，单个企业和多个企业分开，最终产生的最优利润之和是一样的；第二，单个企业利润最大化时的产出水平加总，恰好也是单个企业的最优产出水平；第三，这意味着多个企业的总生产成本恰好等于单个企业的总成本函数，也就是说产量在各个企业间的分配是成本最小化的。
这些感觉都是非常深刻的洞见，意思就是说企业合并和企业分散的效果是一样的！当然，这里依赖于企业是价格接受者，如果企业的产量足以影响价格，就未必如此了。
有效率的产出
定义5.F.1 对于生产向量y\in Y，如果不存在 y'\in Y 使得 y'\geq y 且 y'\neq y，那么我们说 y 是有效率的（efficient）。
意思是说，没办法用更少的产出来生产更多的商品了。注意：有效率的点一定位于生产集的边界上，但边界上的点不一定是有效率的。
效率概念和利润最大化存在着密切联系：
命题5.F.1: 如果对于某个p>>0，y\in Y是利润最大化的，那么y也是有效率的。
证明：反证法，假设y没有效率，那么其一定不是利润最大化的。
这是福利经济学第一定理的简化版本：市场是有效的
命题5.F.1: 假设Y是凸的，那么每个有效率的生产向量 y\in Y 对于某个非零价格向量 p>>0 来说，都是利润最大化的生产方案。
证明: 这里使用分离超平面定理进行证明。
这是福利经济学第二定理的简化版本：市场是万能的 |
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发表于 2022-12-12 10:32:10